Il modello di Kac

Intoduzione

Il modello di Kac simula il rilassamento di un gas all'equilibrio scegliendo casualmente e facendo collidere le particelle, ma senza tenere traccia delle posizioni delle stesse. Man mano che le collisioni diventano consistenti con l'isotropia spaziale, la distribuzione delle velocità di Maxwell-Boltzmann f(v) emergerà

dove  v = (vx2 + vy2 + vz2)1/2 e T la temperatura. La costante di Boltzmann kB e la massa molecolare m sono poste a 1 in questa simulazione (si trova il valore massimo della velocità con (2kBT/m)1/2 e dunque stimare il valore della temperatura T).

Attività

  • Scegli il numero di particelle e attiva la simulazione. Osserva come il profilo della distribuzione risulta simile al grafico di f(v). Prova con 100 particelle o meno, si riconosce ancora il profilo di f(v)? Perché?
  • Avanzate: se hai Ejs installato scarica questa simulazione e in "Model -> Initialization" determina la velocità iniziale delle particelle. Che succede se ne raddoppi il valore? Prova e stima la temperatura in questo caso. Aggiungi una curva analitica al "plottingPanel" nel menu "View" (se non lo hai mai fatto prima cerca il tutorial dal sito ufficiale di Ejs o cerca un esempio nella libreria digitale ComPADRE in Ejs, come "Ejs Non-Newtonian Orbit Model" nella cartella "Classical Mechanics -> Gravity -> Orbits") e confronta la velocità di distribuzione con l'equazione f(v). Nota che quest'ultima è normalizzata a 1 (l'integrale di f(v)dv da 0 a infinito è uguale a 1). Nell'istogramma l'area sottesa alla curva non è 1 ma è uguale al numero di particelle per la larghezza di un istogramma (0.05). Perché? Per confrontare moltiplica per questo fattore.

 


Autore: modello di Wolfgang Christian, programma Java di Dan Schroeder, esercizi di Anne Cox.